Das gleichschenklige Trapez hat die parallelen Seiten und . Der Mittelpunkt der Seite ist der Punkt , der Mittelpunkt der Seite ist der Punkt . Das Trapez ist die Grundfläche des geraden Prismas (siehe Skizze). Der Punkt liegt senkrecht über dem Punkt .
Es gilt: ; ; ;
Zeichnen Sie ein Schrägbild des Prismas , wobei auf der Schrägbildachse und der Punkt links vom Punkt liegen soll.
Für die Zeichnung gilt: .
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Lösung zu Teilaufgabe a
Der Mittelpunkt der Kante ist der Punkt , der Mittelpunkt der Kante ist der Punkt . Für den Punkt auf gilt: .
Punkte auf bilden zusammen mit den Punkten und die Dreiecke . Die Winkel haben das Maß mit
Zeichnen Sie die Strecke , den Punkt sowie das Dreieck für in das Schrägbild zur Aufgabenstellung (a) ein.
Bestätigen Sie rechnerisch, dass der Winkel das Maß hat.
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Lösung zu Teilaufgabe b
Aus der Aufgabenstellung weißt du, dass der Punkt der Mittelpunkt der Strecke und der Mittelpunkt der Strecke ist.
Außerdem soll auf der Strecke liegen, wobei gilt.
Als Erstes kannst du also die Punkte und sowie die Strecke einzeichnen.
Danach zeichnest du den Punkt genau links vom Punkt auf der Strecke ein.
Jetzt kannst du den Winkel in dein Schrägbild einzeichnen.
Nun musst du noch den Winkel berechnen.
Dafür nutzt du die Tangensbeziehung
Um die Tangensbeziehung verwenden zu können, benötigst du einen rechten Winkel. Um diesen zu erhalten, zeichnest du zunächst den Lotfußpunkt von auf der Strecke ein.
Der Punkt liegt nun von entfernt.
Es gilt also .
Mit folgt dann:
Vielleicht hast du bereits bemerkt, dass der Winkel dem Winkel entspricht und dass die Strecke genauso lang ist wie die Strecke .
Es gilt also .
Anwenden der Tangensbeziehung liefert nun:
.
Nun löst du die Gleichung nach dem Winkel auf. Dafür benötigst du die Umkehrfunktion des Tangens, nämlich den Arcustangens.
Auflösen liefert ungefähr:
Umformung: \arctan (\cdot )
Berechne.
Umrechnung vom Gradmaß ins Bogenmaß
Falls du obiges Ergebnis im Bogenmaß berechnet hast, also deine Lösung war, musst du diese nun noch im Gradmaß angeben.
Mit kannst du dein Ergebnis vom Bogenmaß ins Gradmaß umrechnen.
Dabei bezeichnet den Winkel im Bogenmaß und den Winkel im Gradmaß.
Für erhältst du also mit ungefähr
.
Zeigen Sie durch Rechnung, dass für die Länge der Strecken in Abhängigkeit von gilt:
Geben Sie die minimale Länge der Strecken an.
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Lösung zu Teilaufgabe c
In dieser Teilaufgabe arbeitest du mit dem Sinussatz.
Zuerst betrachtest du das Dreieck und siehst, dass es nicht rechtwinklig ist. Daher kannst du in diesem Fall die Sinus-, Kosinus- und Tangensverhältnisse nicht verwenden.
Dafür ist der Sinussatz anwendbar. Dieser besagt, dass in einem Dreieck alle drei Verhältnisse "Seitenlänge dividiert durch Sinus des gegenüberliegenden Winkels" gleich sind:
In dieser Teilaufgabe gilt also mit dem Sinussatz:
Die Innenwinkelsumme des Dreiecks beträgt immer .
Damit kannst du den Winkel bestimmen.
Mit und gilt:
Nun löst du die obige Verhältnisgleichung nach auf:
Umformung: \cdot \sin\left(\sphericalangle LKS\right)
Jetzt kannst du dein Ergebnis aus Teilaufgabe b einsetzen.
Mit und obigem Ergebnis erhältst du für :
Wende die Supplementbeziehung an.
Berechne
Hier hast du die allgemeingültige Supplementbeziehung verwendet.
Die Länge nimmt ihren kleinsten Wert an, wenn der Nenner möglichst groß ist.
Gesucht ist also das , für das möglichst groß ist.
Du weißt, dass der Sinus Werte zwischen und annimmt. Der größtmögliche Wert des Sinus ist also .
Dieser Wert wird für den Winkel angenommen.
Für folgt .
Damit erhältst du
Unter den Dreiecken gibt es das gleichschenklige Dreieck mit der Basis . Berechnen Sie die Länge der Strecke .
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Lösung zu Teilaufgabe d
In dieser Teilaufgabe arbeitest du mit dem Kosinussatz.
Diesen wendest du auf das Dreieck an. Da die Schenkel und in einem gleichschenkligen Dreieck gleich lang sind, berechnest du:
Dabei hast du die Innenwinkelsumme im Dreieck verwendet:
Setzt du nun aus der Aufgabenstellung ein, so erhältst du
Die Punkte sind die Spitzen von Pyramiden mit den Höhen und auf der Strecke . Zeichnen Sie die Pyramide und ihre Höhe in das Schrägbild zur Teilaufgabe (a) ein.
Zeigen Sie sodann rechnerisch, dass für das Volumen der Pyramiden in Abhängigkeit von gilt: cm³.
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Lösungen zu Teilaufgabe e
Diese Aufgabe benötigt die Flächeninhaltsformel für Trapeze sowie die Volumenformel für Pyramiden.
Erinnere dich zunächst, dass das Volumen einer schiefen Pyramide mit dem einer geraden Pyramide mit gleicher Höhe übereinstimmt. Die Formel lautet daher
Dabei bezeichnet die Grundfläche und die Höhe.
Du benötigst also zunächst die Fläche des Trapezes . Da die Höhe des Trapezes ist, kannst du mit der Flächeninhaltsformel den Flächeninhalt der Grundfläche berechnen:
Nun musst du noch die Länge berechnen. Dazu wendest du die Sinusbeziehung auf das rechtwinklige Dreieck an:
Die Länge kennst du bereits aus Teilaufgabe c und kannst daher abschließend alles gesammelt in die Volumenformel der Pyramide einsetzen:
Die Pyramide mit der rechteckigen Grundfläche und der Spitze hat dasselbe Volumen wie die Pyramide .
Berechnen Sie den zugehörigen Wert für .
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Lösung zu Teilaufgabe f
In dieser Teilaufgabe benötigst du erneut die Volumenformel von Pyramiden sowie die trigonometrischen Beziehungen.
Aus der Aufgabenstellung weißt du, dass die Grundfläche der Pyramide ein Rechteck ist. Daher gilt für den Flächeninhalt:
Für die Höhe musst du die Länge der Strecke (siehe dazu die rechtsstehende Abbildung) berechnen. Hierbei ist der Lotfußpunkt von auf die Strecke .
Es gilt .
Erinnere dich an die Kosinusbeziehung
Löst du diese nach auf, so erhältst du
Die Länge hast du bereits in Teilaufgabe c für jedes bestimmt:
Diese Beziehung gilt selbstverständlich auch für und du setzt ein, um
zu erhalten.
Mit der Volumenformel für Pyramiden gilt also:
Dies setzt du mit dem in Teilaufgabe e berechneten Pyramidenvolumen gleich und löst die Gleichung nach auf. Dafür benötigst du die Umkehrfunktion des Tangens, den Arcustangens. Um diesen zu verwenden, kannst du die Taste auf deinem Taschenrechner benutzen. Damit erhältst du:
Umformung: \cdot \sin (60,26^{\circ }+\varphi )
Umformung: :104,20
Umformung: :\cos (\varphi )
Zusammenfassen.
Umformung: \arctan (\cdot )